Projektthemen

Hintergrund

Die Häufigkeitsverteilung realer Waldbrände folgt keinem Glockenmuster. Statt dessen gibt es sehr viele kleine Brände und wenige extrem große, und die Verteilung lässt sich in einem breiten Bereich durch ein Potenzgesetz beschreiben. Bak, Chen und Tang (1990) sowie Drossel und Schwabl (1992) zeigten, dass ein sehr einfacher zellulärer Automat genau dieses Verhalten reproduziert, ohne dass ein Parameter fein eingestellt werden muss. Das System stabilisiert sich von selbst im kritischen Zustand. Dieses Phänomen heißt Self-Organised Criticality (SOC).

Modell-Skizze

Ein 2D-Gitter L × L. Jede Zelle ist EMPTY, TREE oder BURNING. Pro Zeitschritt synchron für alle Zellen:

• EMPTY → TREE mit Wahrscheinlichkeit p (Wachstum).
• TREE → BURNING, falls ein Nachbar (Moore- oder Von-Neumann-Nachbarschaft) BURNING ist.
• TREE → BURNING mit Wahrscheinlichkeit f ≪ p (Blitz).
• BURNING → EMPTY (Brand verlischt nach einem Schritt).

Ein „Brand" ist die zusammenhängende Region, die ein einzelner Blitz auslöst. Die Brand­größe ist die Anzahl Bäume, die in dieser Region verbrennen. Bei großem p/f-Verhältnis emergiert SOC: die Verteilung der Brandgrößen wird zu einem Potenzgesetz P(s) ∝ s^(-α).

Was messen?

• Brandgrößen-Verteilung (Histogramm in log-log-Darstellung)
• Mittlere Walddichte über die Zeit; Schwankungsbreite im Gleichgewicht
• Brand-Häufigkeit pro Zeitschritt
• Größter beobachteter Brand pro Phase (Extremstatistik)

Mögliche Erweiterungen

• Wind: asymmetrische Ausbreitungswahrscheinlichkeit in eine Vorzugsrichtung.
• Heterogene Landschaft: Feuchtigkeits-Gradient (Höhe, Hänge), der f oder die Ausbreitung dämpft.
• Brandschneisen: permanent leere Linien als Prävention. Welche Geometrie schützt am besten?
• Klimawandel-Szenario: langsam steigendes f über Jahre. Wie verschiebt sich die Verteilung?

Quellen

• Drossel und Schwabl (1992), Self-organized critical forest-fire model, Physical Review Letters 69.
• Bak, Chen und Tang (1990), A forest-fire model and some thoughts on turbulence, Physics Letters A 147.
• Malamud, Morein und Turcotte (1998), Forest fires: an example of self-organized critical behavior, Science 281.

Hintergrund

Thomas Schelling untersuchte 1971 die Frage, wie viel individuelle Intoleranz nötig ist, um vollständig segregierte Wohnviertel zu erzeugen. Sein Modell zeigt, dass schon eine milde Präferenz, nicht in der Minderheit zu leben, auf aggregierter Ebene in fast vollständige Segregation umschlägt. Das Modell ist ein Standardbeispiel für das Auseinanderfallen von Mikro-Motiven und Makro-Verhalten.

Modell-Skizze

Ein 2D-Gitter mit zwei Agententypen A und B sowie leeren Zellen (typisch 10–30 % leer). Pro Zeitschritt:

• Für jeden Agenten: berechne Anteil gleichartiger Nachbarn unter den belegten Nachbarzellen.
• Ist der Anteil < τ (Toleranzschwelle), gilt der Agent als unzufrieden.
• Ein unzufriedener Agent zieht auf eine zufällige leere Zelle (oder auf die nächste, die ihn zufrieden machen würde).

Iteriere, bis kein Agent mehr unzufrieden ist (Gleichgewicht) oder eine maximale Schrittzahl erreicht ist.

Was messen?

• Segregations-Index: mittlerer Anteil gleichartiger Nachbarn über alle Agenten.
• Anzahl unzufriedener Agenten pro Zeitschritt (Konvergenz).
• Cluster-Größenverteilung der entstehenden Viertel.
• Anzahl Umzüge bis zum Gleichgewicht (Effizienz).

Mögliche Erweiterungen

• Mehr Gruppen: drei oder mehr Typen. Was ändert sich qualitativ?
• Heterogene Toleranz: τ pro Agent aus einer Verteilung. Reicht eine Minderheit Intoleranter?
• Ökonomisches Gefälle: Zellen mit Preisen, Agenten mit Budgets. Verstärkung oder Dämpfung der Segregation?
• Aktive Politik: bonus für gemischte Viertel, oder ein „Tausch-Programm". Funktioniert das?

Quellen

• Schelling (1971), Dynamic models of segregation, Journal of Mathematical Sociology 1.
• Schelling (1978), Micromotives and Macrobehavior, Norton.

Hintergrund

Klassische epidemiologische Modelle (Kermack und McKendrick 1927) nehmen eine wohldurchmischte Bevölkerung an, in der jede Person jede andere anstecken kann. Reale Kontakte folgen dagegen einer Netzstruktur, und diese Struktur verändert die Ausbreitungsdynamik deutlich. Ein zentrales Ergebnis der Netzwerkepidemiologie lautet, dass in Netzen mit stark heterogener Gradverteilung (etwa skalenfreien Netzen mit ausgeprägten Hubs) eine Epidemie schon unterhalb der klassischen Schwelle R₀ = 1 ausbrechen kann. Super-Spreader sind in solchen Netzen keine Zufallserscheinung, sondern eine strukturelle Folge.

Modell-Skizze

Ein Graph mit N Knoten. Jeder Knoten hat Status S, I oder R. Initial: ein paar Indexfälle infiziert, Rest S. Pro diskretem Zeitschritt:

• Für jeden infizierten Knoten und jeden seiner suszeptiblen Nachbarn: Ansteckung mit Wahrscheinlichkeit β.
• Jeder infizierte Knoten genest mit Wahrscheinlichkeit γ → R.
• Stop, wenn keine I mehr existieren.

Drei Topologien zum Vergleich (alle aus networkx):

• Erdős-Rényi (ER): erdos_renyi_graph(N, p), homogenes Zufallsnetz.
• Watts-Strogatz (WS): watts_strogatz_graph(N, k, p), Small-World mit hohem Clustering.
• Barabási-Albert (BA): barabasi_albert_graph(N, m), skalenfrei, mit Hubs.

Was messen?

• Epidemie-Kurven (S, I, R über Zeit).
• Final Size: Anteil R am Ende (wie groß war die Welle?).
• Peak-Höhe und Peak-Zeitpunkt.
• Empirisches R₀ aus den ersten Schritten.
• Wahrscheinlichkeit eines Ausbruchs (über viele Replikate; mehr als x % infiziert?).

Mögliche Erweiterungen

• Impfen: entferne x % der Knoten vor dem Ausbruch, zufällig oder gezielt auf Hubs, und vergleiche die Wirkung.
• Kontaktreduktion: entferne ab Tag T einen Anteil der Kanten („Lockdown"). Wie spät ist zu spät?
• SEIR: Latenzphase einbauen. Wie ändert sich Peak-Form?
• Re-Susceptibility (SIRS): Genesene werden nach Zeit wieder anfällig. Endemisches Gleichgewicht?

Quellen

• Pastor-Satorras, Castellano, Van Mieghem und Vespignani (2015), Epidemic processes in complex networks, Reviews of Modern Physics 87.
• Newman (2010), Networks: An Introduction, Oxford University Press, Kap. 17.
• Keeling und Eames (2005), Networks and epidemic models, Journal of the Royal Society Interface 2.

Hintergrund

Flache Seen haben zwei stabile ökologische Zustände. Im klaren Zustand wachsen Wasserpflanzen am Grund und die Artenvielfalt ist hoch. Im trüben Zustand dominieren Algen und das System kollabiert ökologisch. Wird der Phosphoreintrag aus der Landwirtschaft zu groß, kippt der See in den trüben Zustand. Durch Recycling aus dem Sediment bleibt er dort auch dann, wenn der Eintrag wieder gesenkt wird. Für eine Rückkehr muss der Eintrag deutlich unter die ursprüngliche Kippschwelle fallen, der See zeigt also Hysterese. Das macht das System zu einem klassischen Beispiel eines sozio-ökologischen Regime-Shifts (Scheffer 2001) und zugleich zu einer Allmende: einzelne Landwirte haben wenig Anreiz, die Düngung zu reduzieren, solange andere weitermachen.

Modell-Skizze

Das Modell besteht aus zwei gekoppelten Schichten.

1. Der See als ein Patch mit Phosphorkonzentration P. Eine typische Dynamik mit Sediment-Recycling lautet:

   dP/dt = L − s·P + r · P^q / (m^q + P^q)

   Hier ist L der jährliche Eintrag aller Landwirte, s die Sedimentationsrate, und der letzte Term beschreibt die Rückführung von Phosphor aus dem Sediment. Ein einfacher Euler-Schritt pro Jahr genügt für die Integration.
2. N Landwirte, jeder mit einer jährlichen Düngemenge u_i ∈ [0, u_max]. Der private Ertrag wächst konkav mit u_i. Kosten entstehen über den Seezustand: sobald P eine kritische Schwelle überschreitet, sinkt der Ertrag aller Landwirte (etwa durch Tourismuseinbußen oder Wasserqualitäts-Auflagen).

Jedes Jahr wählen die Landwirte ihre Düngemenge nach einer Verhaltensregel. Daraus ergibt sich der Gesamteintrag L = Σ u_i, der See wird aktualisiert, Auszahlungen werden berechnet, und der nächste Zeitschritt beginnt.

Verhaltensregeln (Gruppe wählt mind. 2 zum Vergleich)

• Egoistisch: immer u_i = u_max (oder ertragsmaximierend ohne Rücksicht).
• Vorsichtig: reduziere u_i, wenn P nahe der Schwelle ist.
• Imitation: übernimm den Mittelwert (oder den erfolgreichsten) aus deiner Nachbarschaft.
• Politik-Eingriff: Quote, Steuer auf u_i, oder Subvention für Reduktion.

Was messen?

• Trajektorie von P über die Jahre: Kippt der See, und wenn ja wann?
• Verteilung der u_i über Landwirte und Zeit.
• Aggregierter Wohlstand (Summe der Auszahlungen) im Vergleich der Verhaltensregeln.
• Hysterese-Lücke: Bei welchem L kippt der See, bei welchem L springt er zurück?

Mögliche Erweiterungen

• Information: Landwirte sehen P nur mit Verzögerung oder Rauschen.
• Verhandlung: Landwirte können sich auf eine gemeinsame Quote einigen (Ostrom-Mechanismen).
• Räumlich: Landwirte auf einem Gitter, Eintrag gewichtet nach Distanz zum See.
• Sanierung: teure Restaurationsmaßnahme ab einem bestimmten Jahr. Wann lohnt sie sich?

Quellen

• Scheffer, Carpenter, Foley, Folke und Walker (2001), Catastrophic shifts in ecosystems, Nature 413.
• Carpenter (2005), Eutrophication of aquatic ecosystems: Bistability and soil phosphorus, PNAS 102.
• Ostrom (1990), Governing the Commons, Cambridge University Press.
• Janssen (2001), An exploratory integrated model to assess management of lake eutrophication, Ecological Modelling 140.